2 maggio 2015 - 19:36

Nel Paese degli Onesti e dei Sinceri, qualcuno ha rubato la marmellata della nonna.
Leo è sospettato di aver commesso tale grave delitto.
Poiché non ci sono prove decisive a carico di Leo , il commissario Thomas Bayes decide di sottoporlo alla Macchina della Verità.
La Macchina della Verità registra alcuni parametri del corpo umano che indicano lo stato d'ansia di una persona: il ritmo della respirazione, la sudorazione delle mani, le pulsazioni cardiache. Sulla base di questi dati, la Macchina stabilisce se l'individuo mente o dice la verità, per mezzo di due luci colorate.
luce rossa = la persona ha mentito
luce verde = la persona ha detto la verità
Purtroppo la Macchina della Verità non è perfetta, può sbagliare la valutazione.
La sua sensibilità è del 76%, cioè su 100 mentitori ne scopre 76 (e ne sbaglia 24).
La sua specificità è invece del 63%, cioè su 100 persone sincere, per la Macchina della Verità solo 63 dicono la verità mentre le altre 37 mentono.
Leo appartiene a una popolazione in cui 5 persone su 1000 sono mentitori, mentre 995 dicono la verità.
Ecco un rapporto dell'interrogatorio di Leo.
Domanda del commissario: " Leo, sei stato tu a rubare la marmellata della nonna?"
Risposta di Leo: "No, io non ho rubato la marmellata della nonna."
Si accende la luce rossa. Ciò significa che Leo ha mentito.
Il commissario, pensieroso, si domanda: "Qual è la probabilità che Leo abbia effettivamente mentito dato l'esito positivo della Macchina della Verità?"
Ecco tutto. E per questa settimana ho concluso. Alla prossima   wm 

In questa situazione è necessario ricorrere al teorema di Bayes.
Il dato è che si sia accesa la luce rossa; in tal caso, Leo può essere un vero mentitore o un sincero incompreso.
Per la nota formula, si ha, detto M "Leo è un mentitore", S "Leo è sincero", R "Si è accesa la luce rossa":
               p(M | R) = p(R | M)*p(M) / (p(R | M)*p(M) + p(R | S)*p(S)).
Ora, p(R | M) è la probabilità che un mentitore venga scoperto, e cioè 76/100; p(M) è la probabilità che una persona della popolazione menta, e quindi 5/1000; p(R | S) quella che un sincero sia incompreso, e cioè 37/100, e p(S) la probabilità che una persona sia sincera, 995/1000.
Sostituendo i valori numerici nella formula, si ottiene che la probabilità che Leo sia un mentitore dacché s'è accesa la luce rossa è 0,0102, di poco superiore all'1%. È assai verosimile, dunque, che Leo sia stato sincero.
 
Samuele