Salve a tutti. Anche quest'anno il forum è ripartito: rispondo con piacere al primo quesito, e spero di avere abbastanza tempo per partecipare costantemente alle discussioni. Ma ora veniamo al dunque.

L'opera è la famosissima Harmonices Mundi (letteralmente "l'armonia del mondo") di Keplero, pubblicata nel 1619, una delle più interessanti dell'autore: mostra come all'inizio la scienza, per venire alla luce, debba districarsi ancora tra alchimia e magia, eredità delle culture medievale ma soprattutto rinascimentale. Infatti vi si trovano musica, geometria, cosmologia e astrologia legate insieme; una simile concezione del mondo permane fino al secolo successivo: qualcuno ha detto che se Newton avesse lasciato perdere esegesi biblica ed alchimia la scienza si sarebbe trovata cent'anni più avanti. Ma questa è un'altra storia.

Il numero d'oro, o phi, è stato chiamato così da Mark Barr, matematico americano di primo Novecento, in onore di Fidia, che avrebbe usato il rapporto aureo per scolpire le statue nel Partenone. Scaturisce dalla proporzione:

b : a = a : (a+b),

cioè phi è il rapporto tra due lunghezze disuguali in cui la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due; detto in altri termini, phi (φ) è quel numero che è uguale al proprio inverso meno uno. Svolgendo i calcoli dalle due premesse si giunge comunque all'equazione di secondo grado

φ2 - φ - 1 = 0;

φ è la soluzione minore, e si ha quindi:

φ = (√5+1)/2 = 1.61803...

Euclide (IV secolo a. C.), nei suoi Elementi, è il primo di cui abbiamo notizia che definisce il rapporto aureo: in realtà probabilmente a livello pratico questo canone era conosciuto già dalla statuaria arcaica. La proposizione 3 del Libro XIII dice: 

Se una retta è secata nel rapporto estremo e medio, ed è sommata ad essa un retta uguale al segmento maggiore, allora la retta totale risulta secata nel rapporto estremo e medio, e la retta in origine è il segmento maggiore.

È con il Rinascimento che il rapporto aureo viene riscoperto: la ripresa dei canoni di statuaria antica e il ritrovamento di opere di età augustea sulla scultura consentono di riportarlo in auge. Luca Pacioli, forse il più famoso matematico rinascimentale, ha dedicato a phi l'opera De Divina Proportione, scritta basandosi sui canoni espressi da Piero della Francesca (l'ultima parte è praticamente una traduzione di un suo libellum) e illustrata da Leonardo. Scrive Pacioli a proposito di phi:

Commo Idio propriamente non se po diffinire ne per parolle a noi intendere, così questa nostra proportione non se po mai per numero intendibile asegnare, né per quantità alcuna rationale exprimere... .

La successione di Fibonacci è una serie numerica così chiamata in onore del matematico medievale Leonardo Pisano, detto Fibonacci, che in un suo problema sulla riproduzione di coppie di conigli in un certo periodo di tempo l'ha individuata per la prima volta nel mondo occidentale. In essa si ha:

an = an-1 + an-2, con a0 = 0 ∧ a1 = 1;

cioè ogni numero nella successione è uguale alla somma dei due numeri della successione che lo precedono. La successione di Fibonacci è dunque, elencando i primi termini:

 Fn = 1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

È Keplero che, nell'opera su cui prima ho divagato, individua il legame tra la successione di Fibonacci e phi: infatti il rapporto tra due numeri consecutivi della successione si avvicina sempre di più, più i numeri sono grandi, a phi. Detto un po' meglio:

lim(an+1 / an, n, +∞) = φ

Come si è già anticipato parlando di Euclide, phi ha diverse applicazioni anche in geometria; anzi, è proprio in quel campo, come abbiamo visto, che si è scoperto. Un rettangolo è aureo quando il rapporto tra i suoi lati è φ. Il rettangolo aureo racchiude le parti del corpo ideale, quello delle sculture greche e dell'arte rinascimentale: dovrebbe essere circoscritto alla forma del volto e del torace, e le proporzioni dell'intero corpo si dovrebbero basare sulla somma di due diversi rettangoli aurei. Costruendo rettangoli aurei uno interno all'altro e tracciando archi di circonferenza sempre minori dai vertici dei rettangoli si ottiene una spirale logaritmica che ovviamente non ha un centro; questo punto immaginario è stato chiamato da C. A. Pickover "occhio di dio", probabilmente con riferimento al testo di Pacioli.

Come i rettangoli, i triangoli detti aurei hanno i lati "in proporzione divina"; questi triangoli isosceli, che hanno gli angoli alla base di 72° e l'angolo al vertice di 36°, sono gli stessi che compongono le punte della stella formata dalle diagonali del pentagono regolare, anche chiamata stella pitagorica o, quando è inscritta in una circonferenza, pentacolo. La simbologia di questo poligono è infinita, e spazia dall'idea di perfezione pitagorica allo stemma di alcune logge massoniche, al satanismo, alla cabala ebraica, e da qui viene il topos rinascimentale del patto con il diavolo in cambio della conoscenza, ripreso anche molto più tardi da Goethe nel Faust; ma a noi non interessa solo questo. Disegnando un triangolo aureo in un pentagono, i due triangoli adiacenti ai lati maggiori del triangolo sono detti gnomoni aurei; combinando in modo triangoli e gnomoni aurei in modo simile a quanto si era fatto con i rettangoli si ottiene sempre una spirale logaritmica.

Si ritrovano proporzioni auree anche nell'icosaedro regolare, solido platonico con venti facce triangolari equilatere: per esempio contiene tre rettangoli aurei ed è circoscritto ad altri tre, ottenibili dunque per rotazione del solido; la sua sezione pentagonale è regolare, e quindi presenta le stesse proprietà viste prima.

Come dice Keplero, phi è paragonabile ad un gioiello: anche i matematici ne riconoscono la bellezza, ma esso attrae curiosi interessati non tanto da quella quanto dal suo luccichìo. Phi infatti ha moltissime applicazioni anche in natura (regola la fillotassi alterna e la disposizione dei fiori nelle inflorescenze) o in architettura (si avvicina al migliore rapporto di lunghezze per distribuire il peso di un'architrave su due colonne dello stesso spessore); ma è almeno ugualmente interessante notare come, insieme a π ed e, abbia "il vizio di spuntar fuori nei modi più vari ed inaspettati". Per dare solo un assaggio, ecco un'espressione goniometrica uguale a φ:

φ = 2 cos(π/5),

o una potenza del numero di Nepero con lo stesso risultato:

φ = earcsen½.

Inversamente, se si può dire, una frazione formata da fattoriali e numeri di Fibonacci che tende ad e è visibile qui: https://www.dropbox.com/s/lfrf2pinl9dc6b4/17346721.png?dl=0 .