Le figlie del re
Ecco il testo di un problema liberamente tratto da un articolo della rivista "Archimede" (anno LVI), rivista per gli insegnanti e i cultori di matematiche pure e applicate.
Un re ha due figlie (e le loro età vanno intese come numeri interi positivi).
Ci sono due prigionieri, S e D, a ciascuno dei quali viene data, separatamente, una sola informazione:
Al prigioniero S viene comunicata la somma delle età delle due figlie, al prigioniero D viene comunicato il MCD delle età delle due figlie.
Il re convoca insieme i due prigionieri e promette di liberare chi sarà riuscito a determinare le due età.
S scuote tristemente la testa: «No, maestà, non sono in grado di stabilire le età delle sue figlie: sono incerto fra 4 possibilità».
Sentita questa risposta, D fa velocemente qualche calcolo, dopo di che sorride e afferma:
« Maestà, io conosco le età delle sue figlie ».
Infine, anche S, udita l’ultima risposta, dice: «Ora, anch’io so le due età».
Quanti anni hanno le figlie del re?
E con questo ho concluso il mio intervento settimanale.
Alla prossima.... e ....dato che avete il ponte di carnevale...forse riuscite a trovare un po' di tempo per...
wm
Se il prigioniero S è incerto tra quattro possibilità significa che il numero che gli è stato comunicato (la somma delle età delle figlie del re) può essere 8 o 9. Nel primo caso ci potrebbero essere quattro coppie di età (1 e 7, 2 e 6, 3 e 5, 4 e 4) così come nel secondo (1 e 8, 2 e 7, 3 e 6, 4 e 5).
Anche il prigioniero D, con questo ragionamento, intuisce le due possibili somme delle età delle figlie.
Noi invece possiamo capire le età delle due figlie analizzando il MCD di ogni coppia di numeri.
Se il numero comunicato a S è 8 abbiamo appunto quattro coppie di età plausibili:
Se il numero comunicato a S è 9 abbiamo altre quattro coppie di età plausibili:
Il prigioniero D comunica al re che conosce le età delle sue figlie, perciò il MCD non può essere 1.
A questo punto perchè anche S capisca le età delle figlie occorre che la somma delle stesse sia 9 e che il MCD sia 3; infatti solo così S può essere sicuro della coppia scelta, in quanto se la somma fosse 8 esisterebbero due coppie plausibili con MCD diverso da 1.
Le età delle figlie del re sono dunque 3 e 6 anni.