l'erba e i buoi
Sottotitolo
Nell'Arithmetica Universalis di Isaac Newton, pubblicata a Londra nel 1707, c'è un problema molto interessante per gli appassionati di matematica ricreativa, il famoso Problema 11.
Il testo è tratto dall'edizione del 1722
Proviamo a tradurlo in italiano.
Se a buoi mangiano tutta l'erba di un prato b nel tempo c, e d buoi mangiano tutta l'erba di un prato altrettanto buono e nel tempo f, e l'erba cresce uniformemente, si domanda quanti buoi mangiano tutta l'erba di un prato g simile ai precedenti, nel tempo h.
Da notare una importante caratteristica di questo problema: mentre i buoi mangiano, l'erba cresce. Quindi, per esaurire tutta l'erba di un prato bisogna mangiare anche l'erba che è cresciuta nel frattempo.
Newton ricava una formula risolutiva piuttosto complessa e mostra come applicarla al seguente esempio.
 
Se 12 buoi mangiano tutta l'erba di un prato di 3+1/3 jugeri in 4 settimane, e 21 buoi mangiano tutta l'erba di un prato simile al precedente di 10 jugeri in 9 settimane, si domanda: quanti buoi mangiano tutta l'erba di un prato di 24 jugeri in 9 settimane? Risposta 36.
Questo numero si trova sostituendo nella formula:
bdfgh + ecagh + bdcfg + ecfga
befh - bceh
i numeri 12, 3+1/3, 4, 21, 9, 10, 24, 18 al posto rispettivamente delle lettere a, b, c, d, e, f, g, h.
Cerchiamo di chiarire alcuni punti del problema:
lo jugero nell'antica Roma era il terreno arato in una giornata da una coppia di buoi. Come unità di misura di superficie era equivalente a 2520 metri quadrati. Questa informazione non serve a risolvere il problema ma solo ad accrescere la nostra cultura. Embè!
i prati di cui si parla sono simili, cioé contengono inizialmente la stessa quantità di erba per ogni unità di superficie e l'erba cresce allo stesso ritmo;
anche i buoi sono simili, cioè mangiano la stessa quantità di erba per unità di tempo;
inoltre l'erba appena rasa non muore ma continua a crescere regolarmente.
Oltre alla soluzione data da Newton, ne esiste un'altra particolarmente semplice da spiegare e da capire?
E poi c'è un'altra domanda che mi perseguita: come faranno i buoi per azzerare tutta l'erba del prato, se questa, non appena mangiata ricomincia subito a crescere?
Quanti e quali giri del prato dovranno fare i poveri buoi?
Potete dare pace a questo tormento, risolvendo il seguente problema che mi sembra equivalente a quello di Newton.
Cisterna con fori
Una cisterna ha un certo numero di fori sul fondo ed è alimentata da una conduttura che aggiunge acqua.
Quando 10 fori sono aperti , la cisterna si svuota in 20 minuti.
Quando 8 fori sono aperti , la cisterna si svuota in 35 minuti.
Quanto tempo impiega a svuotarsi quando 12 fori sono aperti?
Coraggio...