Mi ritrovo ancora a parlare di trascendenti. Evito di rifare l'introduzione e passo direttamente a trattare le richieste.
Il primo numero, 10^(1/2), la radice di 10, non è trascendente perché è radice dell'equazione x^2 - 10 = 0, e come tale un numero algebrico.
Per il seno di 5 e il logaritmo naturale di 100, vale il teorema di Lindemann-Weierstrass, di cui avevo fatto un accenno l'anno scorso nel quesito sulla quadratura del cerchio, per argomentare la trascendenza di pi greco. In virtù di tale teorema, per x algebrico, e^x è trascendente; da qui discende immediatamente la trascendenza dei logaritmi naturali di un numero algebrico (quale 100) e, ricordando l'onnipresente identità di Eulero, anche delle funzioni goniometriche di un numero algebrico (quale 5).
Numeri risultanti da prodotti di trascendenti non sono necessariamente trascendenti: un esempio elementare è 
               e * e^(-1) = 1,
dove entrambi i fattori sono trascendenti (per la proprietà esposta prima) e il prodotto non lo è.
La trascendenza di prodotti e potenze di trascendenti non è spesso facile da dimostrare, tant'è che alcuni di questi risultati non sono ancora noti.
 
Per concludere, fornisco una dimostrazione alternativa della trascendenza di sen5°, basata su un metodo che ho tratto da un libro, e che trovo estremamente interessante.
Per le formule di addizione e duplicazione di seno e coseno, si ha
               sen3x = 3senx - 4sen^3(x).
Si considerino allora il seno di 15° e il seno di 5°.
               sen15° = 3sen5° - 4sen^3(5°).
Operando la sostituzione t = 2*sen5°, risulta
               (sqrt(6) - sqrt(2))/4 = 3/2 t - 2t^3
               8t^3 - 6t + sqrt(6) - sqrt(2) = 0.
Si può dimostrare, ma esula dalle finalità di questa risposta, che, in un'equazione di questo tipo, t è algebrico solo se esprimibile come rapporto di interi.
Si ricorre allora alla dimostrazione per assurdo. Supponendo x= a/b, con a e b primi tra loro, e sostituendo nell'ultima forma dell'equazione, si ha
               8a^3 - 6ab^2 + (sqrt(6)-sqrt(2))b^3 = 0.
Questa equazione può essere scritta nelle due forme alternative:
               b^3 / a = (6b^2 - 8a^2)/(sqrt(6)-sqrt(2))
               a^3 / b^2 = (6a - (sqrt(6)-sqrt(2))*b) / 8,
che prevedono, dunque, che a divida b^3 e b^2 divida a^3, e cioè, per le condizioni espresse nell'ipotesi per assurdo, che a = ±1 e b = ±1; questo è però assurdo, perché risulterebbe t = ±1, che non è soluzione dell'equazione iniziale. 
Da questo risulta che sen5° è trascendente.
 
E con questo concludo! Buon pi greco day, e buon week end,
Samuele :)