Buongiorno!
Sulle sei facce del primo cubo ci sono altrettanti cubi di lato un terzo; in ognuno di questi, le facce libere per cubi di lato un nono sono cinque, e così via per i cubi di lato un ventisettesimo, ...
L'espressione del volume del cubo è dunque, ricorrendo a un po' di parentesi:
               V = 1 + 6*(1/3)^3 + 6*5*(1/9)^3 + 6*5*5*(1/27)^3 + ... + 6*5^(n)*(1/(3^(n+1)))^3.
Per trovare il valore finito (lo dimostreremo) del volume è bene riscrivere l'espressione in maniera comoda per poter calcolarne il limite per n→+infinito.
Sviluppando le potenze si ha:
               V = 1 + [ 2/(3^2) + 2*5/(3^5) + 2*5^(2)/(3^8) + ... + 2*5^(n)/(3^(3n+2)) ].
Si può intuire che l'espressione in parentesi quadra sia una serie geometrica. A tal proposito, raccogliendo 2/9 e considerando 27 come base delle potenze al denominatore, si ricava:
               V = 1 + 2/9 * [ 1 + 5/27 + (5/27)^2 + (5/27)^3 + ... + (5/27)^n ].
Ricorrendo al principio di induzione si può dimostrare che la serie in parentesi è uguale a
               (1 - (5/27)^(n+1) ) / (1 - 5/27);
non riporto la dimostrazione, anche perché mi pare d'averla svolta su questo forum in uno dei quesiti degli anni scorsi.
Detto questo, l'espressione del volume è:
               V = 1 + 2/9 * (1 - (5/27)^(n+1) ) / (1 - 5/27) = 1 + 3/11 * (1 - (5/27)^(n+1)).
Ricordando l'andamento della funzione esponenziale, con base minore di 1, si verifica che
               lim n→+infinito (5/27)^(n+1) = 0,
e quindi la serie è convergente.
Per n che tende a + infinito, allora, il valore del volume è
               V = 1 + 3/11 = 14/11.
 
Gli impegni di studio mi concedono di rispondere solamente a questo quesito: buona settimana,
Samuele