Iniziamo svolgendo i quadrati di binomio ed effettuando alcuni raccoglimenti:
y= (x - a1)2 + (x - a2)2 + (x - a3)2 + ... + (x - an)2
y= (x2 - 2xa1 + a12) + (x2 - 2xa2 + a22) + (x2 - 2xa3 + a32) + ... + (x2 - 2xan + an2)
y= nx2 - 2x(a1+a2+a3+...+an) + (a12+a22+a32+...+an2)
Vogliamo trovare quando questa funzione è minima. Ne calcoliamo allora la derivata
y'= 2nx -2(a1+a2+a3+...+an)
La poniamo uguale a zero per trovarne i punti di stazionarietà e ne studiamo il segno
2nx -2(a1+a2+a3+...+an) = 0
2nx = 2(a1+a2+a3+...+an)
x = (a1+a2+a3+...+an)/n
2nx -2(a1+a2+a3+...+an) > 0
2nx > 2(a1+a2+a3+...+an)
e in quanto n>0 la derivata è positiva, e quindi la funzione crescente, per
x > (a1+a2+a3+...+an)/n
Ne risulta che x=(a1+a2+a3+...+an)/n è punto di minimo. Il valore trovato altro non è che la media aritmetica dei valori a1,a2,a3,..,an.
Buonasera,
Andrea Ubiali