Saccheri entrò diciottenne nell'ordine della Compagnia di Gesù a Genova, dove fu avviato allo studio della geometria. Venne ordinato sacerdote a Como nel 1694, quindi insegnò filosofia e teologia nei collegi gesuiti di Torino e di Pavia, dove gli fu affidata la cattedra di matematica fino alla morte. Nel 1697 pubblicò un notevole trattato di logica e nel 1708 un trattato di statica. Nel 1733, l'anno della sua morte, uscì l'opera di maggiore importanza per la storia dei fondamenti della geometria e per la quale la sua figura è oggi ampiamente ricordata: "Euclides ab omni nævo vindicatus" (Euclide riscattato da ogni difetto). In essa, Saccheri dimostrò per assurdo il postulato delle rette parallele di Euclide. La sua dimostrazione non era però corretta e le conseguenze da lui tratte dalla negazione del V postulato costituiscono, contro le sue intenzioni, una serie di teoremi che di fatto hanno aperto la strada alla geometria non euclidea. Tuttavia la sua incrollabile convinzione sulla validità della geometria euclidea gli impedì di rendersi conto dei risultati raggiunti.
In questa maniera egli edifica, per la prima volta nella storia, un’ampia costruzione di geometria iperbolica. Questa lunga catena dimostrativa si conclude infine con un errore matematico piuttosto banale, legato ad alcuni mal compresi procedimenti infinitesimali, grazie al quale Saccheri poté ritenere d’aver dimostrato l’assioma delle parallele. Negli anni successivi alla pubblicazione dell’Euclides vindicatus (e alla morte del suo autore) ci si avvide che la dimostrazione per assurdo di Saccheri era senz’altro sbagliata; ma anche che egli aveva quasi inavvertitamente scoperto un vasto continente ancora largamente inesplorato, quello della geometria iperbolica, e molti geometri più moderni intrapresero lo studio di una geometria non euclidea, basata sulla negazione del Quinto Postulato, proprio a partire da quei tanti teoremi così brillantemente dimostrati da Saccheri. L’Euclides vindicatus rappresenta così l’involontario atto fondativo delle geometrie non euclidee, e i suoi risultati il punto di partenza delle successive costruzioni di Lambert, Lobačevskij, Bolyai e Gauß. L’opera di Saccheri risulta pertanto oggi uno dei più importanti sviluppi nella storia della geometria moderna.
Saccheri è definito antesignano perchè nell'antica Roma, gli antesignani erano truppe leggere d'elite che costituivano l'avanguardia di una legione, addestrati per combattere al di fuori della formazione da battaglia della fanteria pesante. Antesignani significa infatti "quelli prima dello stendardo". In senso figurato, nella lingua italiana, per antesignano si intende una persona che prima di altri sostiene idee, teorie, tecniche o simili.