Gli intrecci di arte e matematica sono sempre affascinanti: con il quesito sul numero d'argento mi ero imbattuto in una poesia di Tartaglia in cui mostrava a Cardano (in modo abbastanza enigmatico) il metodo di risoluzione delle equazioni di terzo grado... un modo elegante per esprimere un risultato importante!
Dopo aver divagato, andiamo al quesito, partendo dalla parte "matematica". 
La serie armonica è la somma infinita dei reciproci dei numeri naturali:
∑{n=1;infinito} 1/n
1+1/2+1/3+1/4+1/5+....1/n
È dimostrato che questa serie è divergente: per farlo, si può usare il principio d'induzione, il ragionamento per assurdo, oppure l'analisi. Questo può sembrare strano, perché considerando un numero infinito di addendi, l'ultimo tende a zero, e la serie dovrebbe essere considerata convergente. In realtà, cresce molto lentamente: il suo valore raddoppia considerando il quadrato del numero degli addendi!
Infatti, la crescita è simile a quella logaritmica: la serie armonica ha infatti uno stretto legame con il logaritmo naturale (non a caso l'integrale di 1/x è ln(x) ): la differenza tra l'n-esimo valore della serie a il ln(n) è costante (costante di Eulero).
 
La serie triangolare è la somma infinita dei reciproci dei numeri triangolari.
Ricordiamo che i numeri triangolari sono numeri poligonali rappresentabili sotto forma di triangolo; per trovare l'n-esimo numero:
n-esimo = n*(n+1)/2.
La serie triangolare è allora
∑{n=1;infinito} 2/(n*(n+1))
1+1/3+1/6+1/10+1/15+....+1/n
A differenza della serie armonica, questa converge nel numero 2.
Infatti, considerando che 1/n - 1/(n+1) = 1/(n*(n+1)), abbiamo
1+1/3+1/6+1/10+1/15+...
raccogliamo il 2:
2[1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+...]
per l'identità esposta prima:
2[1/2+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+...]= 2[1/2+1/2] = 2
 
Riassumendo: la serie armonica non è convergente, anche se maggiori sono i suoi fattori, più tendono a zero; la serie triangolare converge a 2, anche se ha infiniti fattori. Questo è appunto il duplice "paradosso".
Allora, parafrasando i versi di Bernoulli:
"Come un piccolo numero, 2, viene da una somma infinita di termini, e a partire dall'infinito si determina un numero finito,
così l'infinito viene da termini che all'infinito diventano infinitesimi, e considerando il limite infinito dei fattori non si presenta un numero finito a cui la serie converge."
Discernere nell'immenso il piccolo, quanta voluttà!
Nel piccolo l'immenso discernere, quanta divinità!